3. Modul: Teilbarkeit ganzer Zahlen und modulare Arithmetik: Approximationssatz von Dirichlet

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vhb - Kurs: Grundlagen der elementaren Zahlentheorie

III.3.1 Approximationssatz von Dirichlet

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Die Menge ℚ liegt dicht in der Menge ℝ, d.h. in jeder noch so kleinen Umgebung einer beliebigen reellen Zahl gibt es eine (tatsächlich sogar unendlich viele) rationale Zahl(en). Insofern macht es Sinn, reelle Zahlen durch rationale approximieren zu wollen, aber wie macht man das?

Eine wichtige Frage ist dabei, wann eine rationale Zahl überhaupt eine gute rationale Approximation genannt werden sollte?
Eine mögliche Antwort hierauf liefert der folgende

Satz (Approximationssatz von Dirichlet, 1842).

Zu einer Irrationalzahl α gibt es unendlich viele rationale Zahlen p/q mit

Beweis. Wir notieren den Ganzteil und den gebrochenen Anteil einer reellen Zahl x als

Sei nun Q eine natürliche Zahl, dann liegen die Q + 1 Punkte 0,{α},{2α},…,{Qα} im Einheitsintervall [0, 1) in den Q disjunkten Teilintervallen [(j−1)/Q, j/Q) verteilt, wobei j = 1,…Q. Das Schubfachprinzip besagt, dass wenn Q + 1 Objekte auf Q Fächer verteilt werden, mindestens eines der Fächer mindestens zwei Objekte enthalten muss. Also existiert mindestens ein Teilintervall, welches mindestens zwei unserer Punkte, sagen wir {kα} ≥ {ℓα}, enthält (wobei also 0 ≤ k, ℓ ≤ Q und k≠ℓ). Damit folgt

Weil nun {kα}−{ℓα} in dem Intervall [0,1/Q) liegt, addieren sich die Ganzteile in der vorangegangenen Formel zu null auf. Sei nun q = k − ℓ, dann gilt also {qα} = {kα}−{ℓα} <1/Q. Mit p := [qα] folgt ferner

welches wegen q < Q die gewünschte Abschätzung liefert.

Jetzt nehmen wir an, dass α irrational ist und nur endlich viele p₁/q₁,…,p_n/q_n der gewünschten Ungleichung genügen. Mit der Irrationalität von α gibt es dann ein Q mit |α −p_j/q_j| >1/Q für j = 1,…,n, was der oberen Abschätzung gegen 1/(q_jQ) widerspricht. Damit ist der Satz bewiesen. qed.

Der Beweis des Dirichletschen Approximationssatzes zeigt leider nicht, wie zu einer gegebenen Irrationalzahl wirklich gute rationale Approximationen tatsächlich gefunden werden können.

Tatsächlich charakterisiert die Approximationseigenschaft des Dirichletschen Approximationssatzes Irrationalzahlen:

Satz.

Für rationale Zahlen α gibt es nur endlich viele rationale Zahlen p/q mit

Die Frage, ob eine gegebene reelle Zahl α irrational ist, lässt sich also durch die Qualität rationaler Näherungen beantworten. Im Falle eines irrationalen α existieren unendlich viele p/q, die um weniger als 1/q² von α abweichen, während für rationale α nur endlich viele solche existieren.

Beweis. Ist α = m/n mit teilerfremden m,n und m/n ≠ p/q, so gilt

und also kann die Ungleichung des Satzes nur mit q < n erfüllt sein. Zu jedem 1 < q < n gibt es aber nur höchstens ein p mit dieser Eigenschaft, was die Endlichkeitsaussage beweist. qed.